Re: [其他] 0^0=1與連續性的關係

[Eeon (Chaotic Good)]

※ 引述《Vulpix (Sebastian)》之銘言：
: 再說吧，Z_6 共有 6 個元素：0、1、2、3、4、5。
: {0,3} 用 Z_6 的加法跟乘法自然形成一個環，乘法單位元是 3。
: 如此 3^0 似乎應該定義成 3。
: 但是 3 本身是 Z_6 的元素，所以 3^0 又應該是 1？
: 或者我們看更「複數」一點的環：Ｃ⊕Ｃ。
: (1,0) 是在「第一個」Ｃ裡面的乘法單位元，
: 所以當然 (0,0)^0＝(1,0)？（此處不只 (0,0) 會出事。）

也來補充一下好了..
這邊這兩個例子告訴我們：
假設 R 是一個環，而 S 是 R 的一個子環，
那麼子環S的乘法單位元素 跟 母環R的乘法單位元素可能是兩個不一樣的元素。

第一個例子：Z_6跟 Z2 ⊕ Z3是同構；
直觀上的來想，這邊所給的兩個例子，
就是把母環分成很多小塊，小塊裡面的乘法單位元就只是他那一塊的小統領而已，
出了那一小塊地盤，跟其他東西乘的時候，他就不一定可以保持不產生變化了；
而整塊的大統領（例如：(1,1)），可能因為體積太大，
每個位置都要是1，放不進（要求有幾個位置只能放零）的各小塊去。

另一個可提供的例子有矩陣環，比方說 M_n(F)，Let m<n，
用I_m表示左上角放 m by m 的單位矩陣，其他位置補零，放大到一個 n by n 矩陣。
則顯而易見地， I_m M_n(F) I_m　是個子環， I_m 是這個子環的乘法單位元素；
而整個母環的乘法單位元是 I_n。


但是在群裡面的話，事情就比較simple了，
一個子群H的單位元素必等於整個群G的單位元素，這易證：
分別用 e_H,e_G表示子群H和的群的單位元素。
根據 e_H是子群H的單位元，可得　e_H e_H = e_H。
把這個等式視做群G裡的等式，左右兩式同乘 e_H 在G裡的乘法反元素 (e_H)'，
同時利用 e_G是群G的單位元素，可得下列推導：
　　　　　e_H e_H (e_H)' = e_H (e_H)' = e_G
        = e_H e_G = e_H


需要注意的是，這裡提及環的乘法單位元，跟群的單位元素　這兩件事並沒有衝突：
環的定義裡，並不要乘法形成一個群的運算，不要求每個元素都有乘法反元素，
所以在證子群和母群的單位元素相同的那套乘上反元素的弄法，自然就不能apply了。
當然，環的定義裡，要求加法是一個群，
所以單從加法的角度來看，顯而易見地，
子環的加法單位元是跟母環的加法單位元是一樣的。

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 182.235.189.13
推 Vulpix      :大家都有的子環只有無聊環：0。所以0^0想要普適定義
→ Vulpix      :的話，只有0^0=0……　但這太奇怪了，囧！
推 rehearttw   :樓上，是不是還要定義運算 ^ ...
→ jetzake     :ㄜ...一般來說"^0"不就是"乘上自己的乘法反元素"嗎??
→ jetzake     :其實吼.. "未定義名辭"才是最好用的不是嗎??
→ jetzake     :有什麼理由非把自己綁死不可??
推 ricestone   :因為有一個人想要綁死別人
→ Eeon        :<>< <>< <>< ><>   ><> <>< <>< ><> <>< <>< ><>
→ calvin4     :推文請勿挑釁。